Vướng lượng tử: từ tranh luận triết học đến giải Nobel năm 2022

1. Cơ sở của cơ học lượng tử và tranh luận triết học

Bắt đầu từ giả thuyết về lượng tử năng lượng được Max Planck đưa ra từ năm 1901 để giải thích phát xạ của một vật đen, sau đó Albert Enstein sử dụng để giải thích hiệu ứng quang điện, Niels Bohr sử dụng để giải thích mô hình nguyên tử hydro, lí thuyết lượng tử phải đợi đến năm 1925 Werner Heisenberg đề xuất cơ học ma trận và năm 1926 Erwin Schrödinger đưa ra cơ học sóng thì cơ học lượng tử mới chính thức thay thế cơ học cổ điển trong mô tả thế giới của các thực thể vi mô. Trong các lí thuyết do con người nghĩ ra thì cơ học lượng tử là lí thuyết có thể đưa ra các tính toán chính xác nhất nhưng đồng thời cũng là lí thuyết gây tranh luận nhiều nhất. Là một lí thuyết chặt chẽ nên vấn đề của cơ học lượng tử đều liên quan đến nhau không thể tách rời. Đó là lưỡng tính sóng hạt, nguyên lí bất định, tính xác suất, sự suy sụp của hàm sóng và bản chất của phép đo, tính phi định xứ, vướng lượng tử, chồng chất trạng thái,… Hiểu được một vấn đề này sẽ dẫn đến việc hiểu vấn đề khác.

Hai đặc điểm quan trọng của các hạt vi mô là lưỡng tính sóng hạt do Louis de Broglie đưa ra vào năm 1923 và nguyên lí bất định do Heisenberg đề xuất năm 1927. Lưỡng tính sóng hạt thể hiện ở chỗ thực thể vi mô vừa có các tính chất của sóng vừa có tính chất của hạt và giữa chúng có mối liên hệ bằng công thức de Broglie λ = h/p, với λ là bước sóng, h = 6,626 × 10^-34 Js là hằng số Planck, p là động lượng của hạt. Do giá trị của hằng số Planck rất nhỏ nên lưỡng tính sóng hạt chỉ thể hiện rõ ràng ở thế giới vi mô. Việc điện tử thể hiện tính chất sóng (như trong thí nghiệm nhiễu xạ điện tử) hoặc thể hiện tính chất hạt (như trong thí nghiệm hiệu ứng quang điện) hoàn toàn phụ thuộc vào bối cảnh quan sát. Trong bối cảnh này thì tính chất sóng được thể hiện, trong bối cảnh khác thì tính chất hạt được thể hiện, chúng ta không thể tiên đoán được chính xác khi nào một tính chất được biểu lộ.

Nguyên lí bất định là nền tảng, là nguyên lí quan trọng mà các thực thể vi mô bắt buộc phải tuân theo. Nguyên lí bất định do Heisenberg đưa ra vào năm 1927 được phát biểu như sau

trong đó, ∆x là độ bất định về toạ độ, ∆p là độ bất định về động lượng. Nguyên lí không cho phép xác định đồng thời toạ độ và động lượng một cách chính xác. Nói một cách khác nếu chúng ta cố gắng đo chính xác vị trí của điện tử, tức là độ bất định về vị trí rất nhỏ (∆x → 0) thì độ bất định về động lượng sẽ rất lớn (∆p → ∞) và ngược lại sao cho công thức (1) phải thoả mãn. Đây là một nguyên lí rất khác biệt của thế giới lượng tử so với thế giới vĩ mô, làm nền tảng để xây dựng lên cơ học lượng tử.

Chúng ta định nghĩa một khái niệm cơ bản của vật lí đó là hệ vật lí. Một hệ vật lí là một vùng không gian hữu hạn bao gồm các thực thể hoặc một phần của thực thể có thể được nghiên cứu bằng các định luật vật lí. Vùng không gian đó có các tính chất vật lí khác so với các vùng không gian khác và ổn định trong một khoảng thời gian nhất định thì chúng ta có thể nói về trạng thái của hệ vật lí. Trạng thái của hệ vật lí trong thế giới vi mô được gọi là trạng thái lượng tử. Cơ học lượng tử được xây dựng dựa trên một số tiên đề và tiên đề đầu tiên của cơ học lượng tử là tiên đề về vector trạng thái phát biểu rằng trạng thái của hệ lượng tử được đặc trưng bởi một vector trạng thái Ψ. Trong biểu diễn toạ độ, vector trạng thái biến thành hàm sóng mang thông tin về toạ độ x và thời gian t của hệ lượng tử ψ = ψ(x, t). Hàm này chứa tất cả các thông tin về hệ lượng tử mà nó mô tả.

Để tìm được hàm sóng, chúng ta cần giải phương trình Schrödinger, là phương trình trung tâm của cơ học lượng tử. Giải phương trình này chúng ta không chỉ thu được hàm sóng ψ_n mà còn thu được năng lượng tương ứng với các hàm sóng E_n (n là một số nguyên dương). Phương trình Schrödinger là phương trình vi phân tuyến tính, thường có nhiều nghiệm. Phương trình này cho phép phán đoán sự thay đổi của hàm sóng theo thời gian. Nó có dạng một phương trình vi phân

Trong đó i là đơn vị số phức được định nghĩa i² = -1, Hˆ là toán tử Hamilton đại diện cho động năng và thế năng của hệ lượng tử. Các biến động lực như tọa độ, động lượng, năng lượng,… của cơ học cổ điển được biểu diễn bằng các toán tử (kí hiệu bằng dấu mũ ở trên các biến động lực đó) tương ứng trong cơ học lượng tử. Vì là phương trình vi phân tuyến tính nên tổ hợp tuyến tính của các nghiệm ψ_n

cũng là nghiệm của phương trình (2). Hàm sóng Ψ là chồng chất của các hàm sóng thành phần ψn là một tính chất rất đặc biệt. Sự chồng chất trạng thái là điểm riêng có của cơ học lượng tử. Đây chính là thể hiện toán học của vướng lượng tử. Khi một hệ gồm nhiều hạt được mô tả bằng một hàm sóng chồng chất thì nếu không có sự can thiệp ở bên ngoài thì sự chồng chất đó vẫn tồn tại giữa các hạt dù chúng ở rất xa nhau. Vướng lượng tử và hàm sóng mô tả hệ hạt liên hệ trực tiếp với nhau. Khi chúng ta đo đạc hệ lượng tử, chúng ta sẽ thu được các giá trị cụ thể E_n nào đó tương ứng với trạng thái cụ thể ψ_n.

Vướng lượng tử là một vấn đề nảy sinh trong cuộc tranh luận lớn hơn về tính đầy đủ của cơ học lượng tử giữa hai người khổng lồ vật lí là Niels Bohr và Albert Einstein, còn gọi là cuộc tranh luận Bohr–Einstein, khởi đầu từ Hội nghị Solvay về cơ học lượng tử năm 1927. Các nhà vật lí vĩ đại khác cũng bị lôi kéo vào cuộc tranh luận để tạo thành hai trường phái. Một bên dẫn đầu bởi Einstein cùng de Broglie và Schrödinger còn bên kia dẫn đầu bởi Bohr cùng Max Born và Heisenberg. Ẩn chứa đằng sau cuộc tranh luận này chính là một vấn đề triết học thuần tuý: thực tại là gì ?

Bohr thì cho rằng nhận thức thông thường của con người có được do các trải nghiệm ở thế giới vĩ mô nên nó không cần phải đúng với thế giới vi mô. Thực tại khách quan (nếu có) thể hiện các tính chất khác nhau phụ thuộc vào cách mà chúng ta quan sát chúng thông qua các phép đo. Bohr cho rằng, nguyên lí bất định quyết định dẫn đến tính xác suất của các thực thể vi mô ở mức độ cơ bản nhất. Không phải sự thiếu thông tin về điều kiện biên dẫn đến tính xác suất mà chính bản thân các quy luật của cơ học lượng tử có tính xác suất. Cách giải thích của Bohr và trường phái của ông được gọi là cách giải thích chính thống, còn gọi là trường phái Copenhagen (quê hương của Bohr). Từ nay về sau nếu không ghi chú gì thêm thì chúng ta hiểu rằng chúng ta đang giải thích theo cách chính thống.

Hàm sóng không có ý nghĩa vật lí nhưng theo Born, bình phương biên độ của hàm sóng tỉ lệ với xác suất P tìm thấy điện tử ở vị trí và thời gian nào đó P(x, t) = |ψ|². Như vậy từ hàm sóng chúng ta tính được xác suất tìm thấy hạt trong các phép đo. Vấn đề về tính xác suất của cơ học lượng tử chính là vấn đề gây tranh luận nhiều nhất. Ví dụ, chúng ta xem xét chuyển động của một điện tử phát ra từ một nguồn đến một màn huỳnh quang. Điện tử được mô tả bằng một hàm sóng ψ(x, t) trải rộng không gian xung quanh nguồn phát ra điện tử và phát triển theo thời gian tạo ra một bong bóng Einstein (Einstein buble). Nếu chúng ta đo đạc điện tử và thấy nó xuất hiện ở một điểm có toạ độ x₀ trên màn huỳnh quang thì cơ học lượng tử giải thích rằng hàm sóng mô tả điện tử, tức là bong bóng Einstein bị suy sụp về một điểm cụ thể tại x₀. Tất cả các vị trí khác của hàm sóng đột ngột biến mất tức thời. Đó chính là cách giải thích về phép đo của trường pháp Copenhagen. Màn huỳnh quang chính là máy đo, một hệ vĩ mô được cho là cổ điển tương tác với một hạt điện tử, một hạt lượng tử dẫn đến sự suy sụp của hàm sóng. Hàm sóng trải rộng bị co lại thành một điểm duy nhất.

Tính xác suất được giải thích thế nào? Tại thời điểm t trước khi đo đạc tất cả các vị trí x đều có khả năng suất hiện điện tử với xác suất |ψ(x,t)|². Không phải điện tử đã có mặt ở đâu đó trong không gian mà theo lí giải của cơ học lượng tử điện tử chưa tồn tại cho đến khi phép đo được tiến hành. Chỉ tại thời điểm thực hiện phép đo t₀, điện tử thể hiện sự tồn tại của mình tại vị trí x₀ với xác suất |ψ(x₀,t₀)|². Lúc đó, các giá trị của hàm sóng tại tất cả các giá trị x≠x₀ sẽ biến mất ngay lập tức. Đó chính là sự suy sụp của hàm sóng. Sự suy sụp của hàm sóng là tức thời, có nghĩa là không quan trọng hàm sóng có rộng lớn đến bao nhiêu, một khi phép đo thấy điện tử tại x₀ thì ở tất cả các vùng không gian khác, dù rất xa cũng sẽ biết thông tin rằng điện tử đã có ở x₀ để hàm sóng biến mất. Về mặt triết học, Bohr theo phản thực tại luận và bất định luận. Phản thực tại vì ông cho rằng chỉ đến khi quan sát, thực tại mới thể hiện sự tồn tại và tính chất của chúng. Bất định ở chỗ tính xác suất nằm ở bản thân các quy luật chứ không phải sự thiếu thông tin về hệ vật lí hoặc các điều kiện biên.

Ngược lại, Einstein cho rằng thế giới vi mô cũng như thế giới vĩ mô, ở đó tồn tại một thực tại khách quan độc lập với các quan sát của con người. Thực tại khách quan đó vận hành theo một quy luật có thể tiên đoán chính xác nếu chúng ta biết đầy đủ các thông tin về chúng. Về mặt triết học, Einstein theo thực tại luận (realism) và tất định luận (determinism). Tính xác suất của cơ học lượng tử, theo Einstein là do chúng ta không biết hết các thông tin về hệ vật lí. Giống như xác suất tung đồng xu lên mặt bàn để biết mặt ngửa hoặc sấp là do các thông tin về lực bàn tay, ma sát không khí, độ đàn hồi của mặt bàn,… không thể xác định được hết. Khi tung đồng xu, các định luật điều khiển đồng xu đều đã biết, cái không biết là thông tin về các điều kiện biên của quá trình vật lí. Sự thiếu thông tin về điều kiện biên dẫn đến tính xác suất trong vật lí. Áp dụng với cơ học lượng tử, Einstein giả thiết rằng đằng sau cơ học lượng tử
còn có các biến số ẩn, các biến số ẩn này gây ra tính xác suất của cơ học lượng tử.

2. Từ tranh luận triết học đến tranh luận khoa học

Ban đầu, cuộc tranh luận chỉ dừng ở các trao đổi, thảo luận giữa hai phái ủng hộ hai nhà khoa học nhưng sau đó trở thành các vấn đề vật lí nghiêm túc và mở rộng thành các hướng nghiên cứu. Năm 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky và Nathan Rosen (gọi tắt là EPR) viết một bài báo với tiêu đề Mô tả thực tại vật lí bằng cơ học lượng tử có thể được coi là đầy đủ hay không? đặt vấn đề về tính đầy đủ của cơ học lượng tử [2]. Đây là công trình khoa học đầu tiên biến tranh luận Bohr–Einstein từ một cuộc tranh luận thiên về triết học trở thành một cuộc tranh luận về khoa học.

Bài báo EPR nêu ra một thí nghiệm tưởng tượng (Gedanken experiment) trong đó xuất hiện một nghịch lí được gọi là nghịch lí EPR. Gọi là nghịch lí vì EPR chứng minh sự tồn tại của một hiện tượng phi cảm tính mà sau này gọi là vướng lượng tử tồn tại giữa các thực thể trong một hệ lượng tử. EPR cho rằng có một thực tại khách quan (objective reality) nằm bên ngoài lí thuyết khoa học. Trong vật lí, thực tại khách quan đó được gọi là thực tại vật lí (physical reality). Một lí thuyết như cơ học lượng tử chỉ có thể là một lí thuyết tốt nếu nó có cả hai tính chất: tính đúng đắn (correctness) và tính đầy đủ (completeness). Tính đúng đắn được thể hiện ở sự phù hợp giữa lí thuyết với kinh nghiệm của con người. Trong vật lí, kinh nghiệm của con người có được thông qua thực nghiệm và đo đạc. Tính đầy đủ của lí thuyết thể hiện ở điều kiện cần và đủ:

1. Điều kiện cần: “Mỗi một yếu tố của thực tại vật lí phải có một đối tác trong lí thuyết vật lí“. Ví dụ, toạ độ và động lượng là hai yếu tố của thực tại vật lí thì trong cơ học lượng tử phải được thể hiện bởi các đối tác của nó chính là các toán tử toạ độ xˆ và toán tử động lượng pˆ.
2. Điều kiện đủ, còn gọi là tiêu chuẩn về thực tại: “Nếu chúng ta có thể tiên đoán một cách chắc chắn (xác suất bằng 1) giá trị của một đại lượng vật lí mà không cần làm nhiễu loạn hệ vật lí đó thì sẽ có một yếu tố của thực tại vật lí tương ứng với đại lượng vật lí đó.” Ví dụ, các toán tử toạ độ và động lượng có các giá trị riêng được xác định một cách chắc chắn từ cơ học lượng tử thì bắt buộc chúng phải tồn tại trong thực tại.

EPR không bàn về tính đúng đắn mà chỉ bàn về tính đầy đủ của cơ học lượng tử. Vậy họ chứng minh cơ học lượng tử không đầy đủ như thế nào? Dựa trên các tiên đề của cơ học lượng tử, EPR đưa ra điều kiện đầy đủ của lí thuyết này là

1. Hàm sóng là đại lượng vật lí mô tả đầy đủ hệ lượng tử. Đây chính là tiên đề thứ nhất của cơ học lượng tử. Nếu tiên đề này mà không đúng thì cơ học lượng tử được gọi là không đầy đủ.
2. Hai đại lượng vật lí mà toán tử của chúng không giao hoán với nhau thì không thể đồng thời xác định chính xác. Tọa độ và động lượng là hai đại lượng vật lí có toán tử của chúng không giao hoán với nhau thì nguyên lí bất định làm cho hai đại lượng này không thể đo đồng thời chính xác.

Hai điều kiện trên là tương đương nhau, chứng minh một trong hai là đúng hoặc sai thì điều kiện còn lại cũng sẽ đúng hoặc sai.

EPR giả thiết rằng ban đầu hệ lượng tử có hai điện tử, bằng cách nào đó hai điện tử này chuyển động ra xa nhau đến hai phòng thí nghiệm ở đó An và Bích tiến hành phép đo. Theo định luật bảo toàn động lượng, vị trí của điện tử này luôn bằng và ngược hướng với điện tử kia nên nếu chúng ta biết vị trí của điện tử 1 thì sẽ biết vị trí của điện tử 2. An đo vị trí của điện tử 1 và biết chính xác tọa độ x₁. Bích đo động lượng của của điện tử 2 biết được chính xác động lượng p₂. Ở đây EPR giả thiết rằng nguyên lí bất định không cho phép An và Bích đồng thời đo chính xác vị trí và động lượng của một điện tử. Họ chỉ có thể lựa chọn đo chính xác vị trí hoặc động lượng mà thôi. Dưới lí luận của cơ học lượng tử, vị trí và động lượng của hai điện tử chưa xác định cho đến khi tiến hành đo đạc. Khi x₁ được tiết lộ từ phép đo thì đúng lúc đó x₂ = −x₁ cũng được tiết lộ. Tương tự như vậy, khi giá trị p₂ được biết thì p₁ = −p₂ cũng được xác định. Như vậy, chúng ta có thể xác định được chính xác vị trí và động lượng của cả hai điện tử mà không làm nhiễu loạn hệ vật lí. Theo tiêu chuẩn về thực tại, do An và Bích tiên đoán chắc chắn giá trị của toạ độ và động lượng nên sẽ có một yếu tố của thực tại tương ứng với đại lượng vật lí đó. Tức là giá trị của toạ độ và động lượng là bắt buộc phải tồn tại khách quan. Xác định chính xác có nghĩa là độ bất định về vị trí và động lượng đều bằng không ∆x → 0, ∆p → 0 dẫn đến ∆x · ∆p → 0 và nguyên lí bất định (1) bị vi phạm. Do chúng ta có thể xác định đồng thời chính xác, tọa độ và động lượng, hai đại lượng vật lí không giao hoán, nên điều kiện thứ hai của tính đầy đủ của cơ học lượng tử bị vi phạm. Mà điều kiện thứ hai tương đương với điều kiện thứ nhất từ đó dẫn đến điều kiện thứ nhất bị vi phạm, tức là hàm sóng không phải là đại lượng vật lí mô tả đầy đủ hệ lượng tử. EPR kết luận rằng điều kiện về tính đầy đủ không được thỏa mãn nên cơ học lượng tử là một lí thuyết không đầy đủ.

Dưới quan điểm cổ điển: tọa độ và động lượng luôn có giá trị tất định từ khi hai điện tử chuyển động ra xa nhau. Thế thì khi đo vị trí và động lượng của điện tử này sẽ biết vị trí và động lượng của điện tử kia. Hai điện tử không cần phải trao đổi thông tin cho nhau vì giá trị toạ độ và động được được xác định từ trước khi chúng đi ra xa khỏi nhau. Nhưng cơ học lượng tử thì không giải thích như vậy, trước khi đo thì cả vị trí và động lượng đều chưa xác định. Trước khi An đo vị trí, điện tử 1 có thể ở tất cả các vị trí trong không gian với xác suất tính toán từ cơ học lượng tử. Khi đo đạc và thu được giá trị x₁ thì hàm sóng ở tất cả các vị trí x ≠ x₁ biến mất và cũng tại thời điểm phép đo 1 tiến hành, ở phòng thí nghiệm của Bích, giá trị x₂ cũng được xác định. Làm thế nào mà điện tử 2 biết điện tử 1 được đo để nó xác định vị trí của nó nếu giá trị đó không được xác định từ trước? Đó chính là sự vướng lượng tử mà chúng ta đang nghiên cứu. Cơ học lượng tử thừa nhận sự liên hệ tức thời, phi không gian giữa hai điện tử.

Trong thí nghiệm EPR, hai phòng thí nghiệm có thể ở rất xa nhau thế thì các hạt bị vướng với nhau như thế nào? Tốc độ truyền là bao nhiêu? Nếu thông tin được truyền tức thời thì nó sẽ vi phạm lí thuyết tương đối khi cho rằng không có thực thể vật chất nào có thể di chuyển nhanh hơn tốc độ ánh sáng. Sự kì lạ đó được Einstein cho là nghịch lí, sau này gọi là nghịch lí EPR. Einstein không chấp nhận mối liên hệ như vậy. Ông cho rằng toạ độ và động lượng của hai điện tử đã có từ trước khi hai điện tử được mang ra khỏi nhau, không có cái gọi là vướng lượng tử. Chỉ đến khi phép đo được tiến hành thì các điện tử tiết lộ thông tin đã được xác định từ trước. Với Einstein thế giới là tất định, không có tính xác suất ở thế giới lượng tử. Quan điểm này được đúc kết trong trong câu nói nổi tiếng “Chúa không chơi xúc xắc”.

Bohr cho rằng có tồn tại một hiện tượng gọi là vướng lượng tử. Toạ độ và động lượng của điện tử chưa xác định cho đến khi người ta đo đạc các đại lượng đó. Khi tiến hành phép đo với một trong hai điện tử, sự vướng này làm cho thông tin phép đo này ngay lập tức ảnh hưởng đến phép đo còn lại. Sự ảnh hưởng này là tức thời và không cần một thực thể vật lí nào để truyền thông tin đó. Nếu vướng lượng tử là có thật thì chúng ta phải chấp nhận rằng thông tin giữa hai hạt có thể truyền tức thời. Vấn đề này được gọi là vấn đề phi định xứ (non-locality) của cơ học lượng tử. Nếu tính phi định xứ mà đúng thì lí thuyết tương đối của Einstein khi cho rằng không có gì có thể truyền đi với tốc độ nhanh hơn tốc độ ánh sáng có thể bị vi phạm.

Như vậy, tranh luận giữa Einstein và Bohr là tranh luận về các vấn đề triết học: tính định xứ, tính khách quan và sự tất định của thực tại khách quan. Tính định xứ liên quan trực tiếp đến nguyên lí nhân quả. Nguyên lí nhân quả là nguyên lí về mối liên hệ giữa sự vật và hiện tượng ở vùng không gian này (nguyên nhân) có ảnh hưởng đến sự vật và hiện tượng ở vùng không gian khác (kết quả) theo một tiến trình thời gian. Sự ảnh hưởng phải được lan truyền bởi một thực thể vật chất nào đó với tốc độ xác định và theo vật lí hiện đại không thể nhanh hơn tốc độ ánh sáng. Tiến trình thời gian làm cho nguyên nhân có trước kết quả, không thể xảy ra cùng một lúc. Trong thế giới vĩ mô, nguyên lí nhân quả là tất định. Nếu biết được tất cả các thông tin về nguyên nhân, biết được các quy luật thì kết quả là tất yếu. Tính xác suất ở thế giới vĩ mô là sự thiếu thông tin. Trong thế giới lượng tử, tính xác suất đến từ bản thân các định luật, dù có biết hết các thông tin thì tính xác suất cũng không thể tránh khỏi. Điều đó làm cho nguyên lí nhân quả trong thế giới vi mô trở nên bất định. Nếu tính phi định xứ mà tồn tại thì tính khách quan cũng bị lung lay. Không phải là không tồn tại thực tại khách quan mà thực tại khách quan bị ảnh hưởng bởi sự quan sát. Đó là các vấn đề triết học của cuộc tranh luận Bohr–Einstein liên quan đến tính đầy đủ của cơ học lượng tử. Việc làm sáng tỏ tính đầy đủ có vai trò quyết định đến nguyên lí nhân quả, một nguyên lí quan trọng hàng đầu của triết học.

3. Công thức hoá tranh luận khoa học: Bất đẳng thức Bell

Vấn đề mà EPR đặt ra mang tính triết học nhiều hơn tính khoa học nên không được các nhà khoa học quan tâm trong thời gian đầu sau bài báo EPR. Cho đến năm 1951, David Bohm, trong lí thuyết về sóng dẫn hướng (pilot wave) của mình, đề xuất phép đo spin của hai hạt bị vướng lượng tử [3]. Bohm giả thiết rằng, một hạt vi mô là pion (có spin bằng không) có thể bị phân rã thành một điện tử và một phản điện tử

Năm 1964, Bell công bố một bài báo quan trọng trong đó chỉ bằng một số tính toán đơn giản về tổng quát hoá phép đo spin, Bell chứng minh vướng lượng tử tồn tại về lí thuyết, cơ học lượng tử là đầy đủ mà không cần đến biến số ẩn. Trọng tâm của lí thuyết của Bell là bất đẳng thức Bell được xây dựng dựa trên lí thuyết biến số ẩn. Nếu bất đẳng thức đó mà đúng thì cơ học lượng tử là một lí thuyết không đầy đủ và ngược lại. Trong phép đo spin mà Bohm đề xuất, chúng ta giả thiết đo spin theo vector a và spin có thể nhận được một trong hai giá trị ↑ (hướng theo a) hoặc ↓ (ngược hướng với a). Chúng ta gọi hai giá trị tương ứng với hai trạng thái này của spin là 1 và 0. Tức là nếu spin của hạt nào hướng theo a là 1, spin của hạt nào hướng ngược a là 0. Hai người quan sát An và Bích sẽ nhận được các giá trị tương ứng, theo Einstein, là 10 hoặc 01. Chúng ta nói spin của hai hạt này có độ tương quan là P = −1. Nếu phép đo của An không liên quan gì đến phép đo của Bích, spin của hai hạt độc lập với nhau, thì chúng ta nói spin của hai hạt này không có tương quan với nhau, P = 0.

Bell mở rộng phương và hướng của phép đo spin. Tính toán của ông đơn giản nhưng chặt chẽ để xây dựng nên một cái gọi là bất đẳng thức Bell. Bell cho rằng sự tương quan P phụ thuộc vào các phương khác nhau a và b như sau: P(a, b) = −a · b. Chúng ta giả thiết các vector trên là các vector đơn vị |a| = |b| = 1. Nếu chúng ta đo spin của một phương duy nhất tức là a = b thì sự tương quan là P(a, a) = −|a|²cos 0^◦ =−|a|² = −1. Spin của hai hạt luôn ngược hướng nhau, tương quan luôn bằng −1. Đây chính là phép đo spin mà Bohm đề xuất. Trong trường hợp hai vector vuông góc với nhau thì P(a, b) =−|a||b| cos 90^◦ = 0, giữa hai phương không có tương quan. Bell mở rộng tính toán theo phương thứ ba c, hoàn toàn tương đương với hai phương a, b. Ông đưa vào biến số ẩn λ vào các tính toán bằng cách giả thiết sự tương quan không
chỉ phụ thuộc vào các vector a, b, c mà còn phụ thuộc vào λ. Sau khi loại biến số ẩn này Bell chứng minh được bất đẳng thức

Một số trường hợp đặc biệt theo cơ học lượng tử và cho thấy sự vi phạm bất đẳng thức nói trên. Ví dụ, trường hợp góc giữa a và c, b và c là 120^◦ (cos 120^◦ = −1/2), góc giữa a và b là 60^◦ (cos 60^◦ = 1/2) nên bất đẳng thức Bell (4) cho giá trị |1/2 − (−1/2)| ≤ 1 − 1/2 và thu được 1 ≤ 1/2. Rõ ràng bất đẳng thức này không đúng.

Chúng ta xem xét một ví dụ minh họa ý nghĩa của bất đẳng thức Bell. Thay cho việc đo spin, chúng ta đo phương phân cực của ánh sáng. Ánh sáng là sóng điện từ, ở đó phương của vector điện trường và từ trường luôn thay đổi và vuông góc với nhau. Phương phân cực được định nghĩa là phương của vector điện trường. Mỗi một photon có một phương phân cực, ta kí hiệu là a. Khi ánh sáng đi qua một tinh thể phân cực có phương phân cực b, thì nếu a ∥ b, photon đi qua với xác suất 100%. Ngược lại, a ⊥ b các photon sẽ không đi qua, xác suất là 0%. Với hai trường hợp song song và vuông góc, lí thuyết biến số ẩn (thông qua bất đẳng thức Bell) và cơ học lượng tử cho tính toán giống nhau. Tuy nhiên khi a và b làm với nhau một góc θ thì hai lí thuyết này cho hai giá trị khác nhau. Lí thuyết biến số ẩn tính rằng xác suất tỉ lệ với góc nghiêng giữa hai vector P ∝ cosθ, trong khi cơ học lượng tử xác định là P ∝ cosθ. Ví dụ θ = 45^◦, bất đẳng thức Bell tính rằng xác suất suất là 50% trong khi cơ học lượng tử tính toán là 71%.

Người ta xây dựng một số biến thể của bất đẳng thức Bell để có thể thuận tiện trong việc kiểm tra bằng thực nghiệm, ở đó thay vì đo theo ba phương, người ta mở rộng đo theo bốn phương. Nổi tiếng nhất trong số đó là bất đẳng thức CHSH,¹ ở đó tương quan giữa các hạt S có một giới hạn [4]. Bất đẳng thức này hoàn toàn tương đương với bất đẳng thức Bell nguyên thuỷ

Một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức CHSH khi các góc làm với nhau 45^◦, khi đó bất đẳng thức này giới hạn S ≤ 2 trong khi cơ học lượng tử tính toán S ≤ 2√2 ≈ 2,828.

4. Kiểm tra bất đẳng thức Bell bằng thực nghiệm

Bất đẳng thức Bell xác lập một mối quan hệ định lượng để có thể kiểm tra bằng thực nghiệm. Việc chứng minh bằng thực nghiệm không dễ dàng bởi hai khó khăn: tạo ra hệ vướng lượng tử và các lỗ hổng mà biến số ẩn có thể xuất hiện. Thay vì đo spin của các hạt vật chất, trong phần lớn các thí nghiệm, người ta nghiên cứu sự phân cực của các photon bởi làm việc với các photon dễ dàng hơn làm việc với các điện tử. Các công trình đầu tiên về photon lượng tử do Clauser đề xuất từ năm 1972 [5] nhưng phải đợi đến đầu năm 1982, Aspect mới có thể tạo các các đơn photon (single photon) vướng lượng tử [6] để từ đó các nghiên cứu mới bứt phá mạnh mẽ. Hơn nữa, duy trì vướng lượng tử là rất khó khăn bởi bất kì tương tác với môi trường bên ngoài đều có thể phá vỡ trạng thái vướng lượng tử đó. Do đó, hệ lượng tử cần phải được cách li hoàn toàn với môi trường bên ngoài. Với các hạt vật chất như điện tử, chuyển động nhiệt cũng phá vỡ hệ lượng tử nên các hệ này phải được đặt ở nhiệt độ rất thấp.
Ngoài việc tạo ra các hạt bị vướng với nhau, các nhà khoa học cần phải lấp đầy các lỗ hổng (loophole) mà ở đó các biến số ẩn có thể tác dụng. Các lỗ hổng xuất hiện trong các nghiên cứu thực nghiệm gồm:

1. Lỗ hổng định xứ (locality loophole): nếu hai photon ở gần nhau thì có thể giữa chúng có mối liên hệ nào đó mà chúng ta chưa biết làm cho các kết quả đo đạc bị ảnh hưởng đến nhau. Chúng ta giả thiết rằng, mối liên hệ đó phải được truyền cho nhau bằng cách nào đó và sự truyền tin đó không thể nhanh hơn tốc độ ánh sáng. Để loại bỏ lỗ hổng định xứ, trong các thí nghiệm, các phép đo photon phải đủ xa để nếu chúng có tương tác thì sự tương tác đó cũng đến chậm hơn khi các phép đo được tiến hành. Giả sử An đo và thu được kết quả là ↑ và anh ta muốn gửi kết quả đó đến Bích với mong muốn Bích tiến hành phép đo để thu được kết quả ↓. Thế thì thí nghiệm phải được thiết kế đủ xa để Bích phải kết thúc phép đo trước khi thông tin từ An được truyền đến.
2. Lỗ hổng tự do lựa chọn (freedom of choice loophole): yêu cầu các thiết kế thí nghiệm phải được lựa chọn một cách ngẫu nhiên, không phụ thuộc vào tính chất của vật thể đo, trong trường hợp này là các photon. Để làm điều này, người ta thường sử dụng các bộ phân cực ngẫu nhiên để loại bỏ việc lựa chọn phân cực chủ quan của người quan sát. Ví dụ, An và Bích chơi tung đồng xu với mục đích là mặt đồng xu của hai người phải ngược nhau. Nếu họ cố tình gian lận bằng cách thiết kế các đồng xu một cách đặc biệt để thu được kết quả như mong muốn thì đó chính là biến số ẩn. Thí nghiệm phải được thiết kế để sao cho việc lựa chọn đồng xu trong một tập hợp nhiều đồng xu cho trước phải là ngẫu nhiên.
3. Lỗ hổng đo đạc (detection loophole): khi làm thí nghiệm với các photon, các thí nghiệm chỉ có thể quan sát được một tỉ lệ nhất định các photon phát ra để từ đó ngoại suy ra tất cả các photon. Đây được gọi là giả thuyết về mẫu đại diện (fair-sampling assumption). Chúng ta có thể lí luận rằng trong số các photon không được quan sát, có các photon tuân theo bất đẳng thức Bell thì sao. Lỗ hổng này cần được khắc phục bằng cách các đầu đo phải thu được hết tất cả các photon.
4. Lỗ hổng thời gian trùng hợp (coincidence-time loophole): trong nhiều thí nghiệm, chỉ đến khi đo xong người ta mới biết được các photon có bị vướng với nhau hay không. Do đó, kết quả thu được có thể đến từ sự vướng lượng tử “giả”, tức là các photon không bị vướng nhưng chúng ta lại giả thiết rằng chúng bị vướng. Để khắc phục lỗ hổng này, người ta phải thiết kế thí nghiệm để đo các photon trong một thời gian đủ ngắn để không thu photon khác nhưng đủ dài để các photon không bị chia cắt bởi các phép đo.
5. Lỗ hổng do sự nhớ hệ thống (setting memmory loophole): yêu cầu các phép đo phải loại bỏ các sai số hệ thống có tính lặp đi lặp lại. Ví dụ, phép đo được thực hiện ở hai vị trí cố định thì có thể có các biến số ẩn liên quan đến vị trí và cách bố trí thí nghiệm dẫn đến sự lặp đi lặp lại kết quả nào đó. Lỗ hổng này có thể có liên quan đến lỗ hổng tự do lựa chọn đã trình bày ở trên. Để khắc phục, người ta chọn ngẫu nhiên các thiết kế thí nghiệm khác nhau.

Hai lỗ hổng đầu tiên là khó vượt qua nhất, chúng gắn trực tiếp với quá trình thực nghiệm. Chỉ những người trực tiếp tham gia thực nghiệm mới có thể hiểu chính xác các lỗ hổng này. Ba lỗ hổng sau có thể phát hiện từ các dữ liệu thực nghiệm, sau khi thực nghiệm kết thúc.

Năm 1972, Clauser làm thí nghiệm đầu tiên chứng minh sự tồn tại của vướng lượng tử giữa hai photon [5]. Sáng tạo của Clauser là sử dụng các photon bị vướng lượng tử. Bằng cách bơm điện tử trong tinh thể đồng vị Ca-40 (để giảm thiểu tương tác siêu tinh tế) lên trạng thái kích thích, thay vì điện tử dịch chuyển về trạng thái cơ bản và phát ra một photon thì ở đây điện tử dịch chuyển đến một trạng thái trung gian có thời gian sống rất ngắn và phát ra hai photon có bước sóng 551 nm và 422 nm. Quá trình dịch chuyển này được gọi là dịch chuyển theo đợt (cascade transition). Định luật bảo toàn năng lượng cho phép xác định bước sóng của photon, định luật bảo toàn động lượng cho phép xác định phương phân cực của chúng. Phương phân cực của các photon song song với nhau, đó là sự vướng lượng tử. Sự phân cực của photon này bị ảnh hưởng

bởi sự phân cực của photon khác. Bằng cách đo độ phân cực của hai photon theo các góc, Clauser thu được các kết quả làm ông bị choáng bởi vì ông tin rằng lí luận của Einstein là đúng. Tuy nhiên không ai có thể cãi lại các kết quả từ các phép đo. Phi định xứ là có thật!

Các thí nghiệm của Clauser chưa thể khắc phục được lỗ hổng cơ bản nhất là lỗ hổng định xứ do điều kiện thực nghiệm còn hạn chế. Mười năm sau, Aspect khắc phục được lỗ hổng định xứ bằng cách đo sự phân cực của các đơn photon theo các phương khác nhau trong không gian (hình 1), Aspect cho thấy sự tương quan S của các photon hoàn toàn tuân theo cơ học lượng tử. Các nhà khoa học đặt các kính phân cực trước khi đến đầu đo. Nếu phương phân cực của photon song song với phương phân cực của kính thì photon đi qua và đầu đo thu được tín hiệu. Nếu phương phân cực của photon vuông góc với phương phân cực của kính thì photon không thể đi qua và đầu đo không thu được tín hiệu. Nếu phương phân cực của photon làm với với phương phân cực của kính một góc thì photon đi qua với một xác suất nào đó. Xác suất này là khác nhau giữa bất đẳng thức Bell và cơ học lượng tử.

Aspect chuyển đổi hai kênh phân cực cứ 10 ns một lần, thời gian sống của dịch chuyển theo đợt là 5 ns, rất ngắn so với thời gian mà ánh sáng truyền giữa hai đầu đo là khoảng 40 ns [6]. Với bố trí thí nghiệm với khoảng cách đủ xa như vậy thì nếu hai đầu đo có muốn trao đổi thông tin cho nhau thì sự trao đổi đó cũng muộn hơn phép đo. Tại góc mà sự tương quan là cực đại S, cơ học lượng tử tính toán là S ≤ 2,828, bất đẳng thức Bell tính toán là S ≤ 2 thì kết quả thực nghiệm đo được là S = 2,697 [7]. Dù thực hiện sau Clauser nhưng phần đông các nhà khoa học đều trích dẫn các nghiên cứu của Aspect như là thí nghiệm đầu tiên chứng minh tính phi định xứ.

Sự dịch chuyển theo đợt có hiệu suất không cao do sự phát photon theo các phương là ngẫu nhiên trong không gian nên để photon đi đúng phương đến đầu đo thì cần nhiều thời gian. Sau này người ta dùng một cơ chế khác hiệu quả hơn có tên là phát xạ hạ tần tham số tự phát (spontaneous parametric downconversion–SPDC). Một photon bơm có tần số cao đi đến một tinh thể quang học phi tuyến (nonlinear optical crystal) thường dùng là beta barium borate (BBO) sẽ bị tách thành hai photon có tần số thấp hơn với phương phân cực của hai photon hoặc là song song, hoặc là vuông góc với nhau. SPDC là một quá trình hiệu quả và đơn giản, có thể thực hiện ở hầu hết các phòng thí nghiệm ở các trường đại học và được sử dụng trong hầu hết các nghiên cứu về quang lượng tử.

Trong các thí nghiệm của Aspect, cũng do giới hạn bởi các thiết bị thực nghiệm, các phương phân cực không được lựa chọn một cách ngẫu nhiên nên vẫn có thể có các lỗ hổng về tự do lựa chọn hoặc các lỗ hổng khác. Zeilinger và nhóm nghiên cứu của ông xây dựng các thí nghiệm đế đóng kín các lỗ hổng [8]. Các nghiên cứu ở trên tập trung vào sự vướng của hai photon ở khoảng cách 144 km [9] hoặc ở trong không gian [10]. Đặc biệt, các nhà khoa học mở rộng sự vướng lượng tử của hệ nhiều hạt [11], rất quan trọng để từ đó xây dựng nên các ứng dụng sau này.

Nhóm của Zeilinger sử dụng SPDC để tạo ra các photon tương quan từ các photon mà trước đó không có tương quan. Giả sử nguồn phát của An phát ra photon bị vướng 1 và 2 có phương phân cực song song. Tương tự, nguồn phát của Bích phát ra hai photon 3 và 4 có phương phân cực vuông góc. Chúng ta có hai hệ lượng tử tách biệt nhau (1,2) và (3,4). Chú ý, photon 2 và 3 dù vuông góc với nhau nhưng không có tương quan (không bị vướng). Bây giờ người ta cho hai photon này đi đến một tinh thể phân cực nghiêng một góc 45^◦ với cả hai phương phân cực của photon 2 và 3 thì sau khi đi qua tinh thể này người ta không thể biết photon đó là photon 2 hoặc photon 3 vì cả hai photon này đều có xác suất đi qua tinh thể bằng nhau. Đó chính là nguyên lí tạo ra hai photon bị vướng mà trước đó chúng không có tương quan. Như vậy chúng ta có hệ lượng tử gồm nhiều photon bị vướng với nhau.

Các nhà nghiên cứu trước đó chỉ nhằm mục đích tìm hiểu bản chất của thực tại thì vướng lượng tử của hệ nhiều hạt mở ra các ứng dụng tiềm năng đó là ứng dụng trong giao tiếp lượng tử (quantum communication), tính toán lượng tử (quantum computing), mật mã lượng tử (quantum cryptography) [12] và viễn tải lượng tử (quantum teleportation) [13]. Hơn nữa nếu vướng lượng tử mà đúng, các vấn đề vật lí cơ bản có liên quan khác như lỗ giun (wormhole)² cho phép khả năng du hành vũ trụ nhanh hơn ánh sáng là có thể xảy ra vì vướng lượng tử và lỗ giun được giả thiết là liên quan với nhau như hai mặt của một vấn đề ER = EPR. Chúng ta có thể tham khảo về vấn đề này ở [15].

Ba nhà khoa học đạt giải Nobel năm 2022 đã chứng minh bằng thực nghiệm sự vi phạm bất đẳng thức Bell, tức là thừa nhận vướng lượng tử và bác bỏ thực tại định xứ (local realism). Họ cho thấy rằng mặc dù phi cảm tính nhưng cơ học lượng tử là lí thuyết đầy đủ để mô tả thực tại vi mô mà không cần đến một lí thuyết nào khác, không cần đến thông tin bổ sung. Clauser là người đầu tiên làm thực nghiệm với photon vướng lượng tử nhưng không chắc chắn về lỗ hổng định xứ. Aspect lấp được lỗ hổng định xứ nhưng không lấp được lỗ hổng tự do lựa chọn. Zelinger lấp đầy hầu hết các lỗ hổng quan trọng và mở ra các nghiên cứu mới về thông tin lượng tử. Đó chính là đóng góp lớn lao của các nhà vật lí thực nghiệm. Trên con đường nghiên cứu cả về lí thuyết lẫn thực nghiệm về vướng lượng tử, chúng ta không thể không nói đến các nhà khoa học khác nhưng bài tiểu luận này đặt trọng tâm vào các công trình đạt giải Nobel năm 2022 nên đã bỏ qua rất nhiều tên tuổi lớn khác. Thật đáng tiếc, John Bell, người đặt nền tảng cho việc đo đạc và kiểm chứng thực nghiệm không sống đủ lâu để có thể được vinh danh bằng giải Nobel. Tuy nhiên công trình của ông bất đẳng thức Bell chắc chắn sẽ được hậu thế luôn nhớ đến. Đó chính là ý nghĩa lớn nhất mà một nhà khoa học mong muốn.

5. Từ bất đẳng thức Bell trở lại triết học

Cánh cửa về cuộc tranh luận giữa Bohr và Einstein dường như đã kết thúc với phần thắng thuộc về Bohr và những người theo ông [16]. Một khi các hạt vi mô có mối liên hệ với nhau thì mối liên hệ đó tồn tại mãi mãi không phụ thuộc vào khoảng cách cho đến khi mối liên hệ đó bị một tương tác bên ngoài can thiệp vào. Mặc dù thực nghiệm bác bỏ được thực tại định xứ nhưng vấn đề mà EPR nêu ra từ ban đầu thực tại là gì vẫn chưa có hồi kết. Hai vấn đề triết học cần phải giải quyết: chúng ta phải từ bỏ một trong hai tính chất là tính định xứ và tính thực tại. Phần lớn các nhà vật lí từ bỏ tính định xứ thừa nhận tính phi định xứ và giữ lại tính thực tại, tức là chấp nhận vướng lượng tử để giữ lại một thực tại khách quan.

Vướng lượng tử tồn tại ở thế giới vĩ mô nhưng bản chất của mối liên hệ là gì là điều mà khoa học hiện nay chưa biết. Nếu chấp nhận tính phi định xứ, chấp nhận rằng có mối liên hệ giữa hai thực thể nằm cách xa nhau vô hạn thì lí thuyết tương đối có bị vi phạm hay không? Một lí thuyết không thể chỉ đúng trong trường hợp này nhưng lại không đúng trong một trường hợp hợp khác. Ngoài vướng lượng tử, người ta chưa quan sát thấy lí thuyết tương đối bị vi phạm ở bất kì thí nghiệm nào. Nhưng có thực sự lí thuyết tương đối bị vi phạm hay không? Thông tin trong vướng lượng tử là sự gắn bó tức thời không phụ thuộc vào không gian và thời gian sự nhận biết tức thời mà không cần truyền tin có thể không vi phạm lí thuyết tương đối nhưng lại có thể là một loại tương tác đặc biệt khác của tự nhiên chăng?

Có nhiều mô hình được đưa ra để giải thích cơ học lượng tử, ngoài cách giải thích chính thống được nhiều nhà vật lí chấp nhận thì số lượng các cách giải thích cơ học lượng tử ngày càng nhiều. Các biến thể của lí thuyết về biến số ẩn rất đa dạng. Một trong những biến thể nổi tiếng nhất là lí thuyết về sóng dẫn hướng (pilot wave) được de Broglie đưa ra sau đó David Bohm phát triển thành cơ học Bohm [17]. Có những cách giải thích cơ học lượng tử rất khác biệt như cách giải thích về tích phân đường của Richard Feynman năm 1964 [18], đa thế giới (many worlds) của Hugh Everett năm 1956 [19], suy sụp hàm sóng tự phát của Ghirardi, Rimini, và Weber năm 1986 [20], suy sụp hàm sóng do hấp dẫn của Roger Penrose năm 2014 [21], đa trí não (many minds) của David Albert và Barry Loewer năm 1988 [22], Bayes lượng tử (qbism) năm 2002 [23], thế giới đa tương tác (many interacting worlds) năm 2014 [24]. Chúng ta có thể xem giới thiệu về các giải thích này ở [25]. Số lượng các giả thuyết quá nhiều đến nỗi một nhà vật lí nổi tiếng là David Mermin phải thốt lên rằng Mỗi năm lại xuất hiện một giải thích mới. Không có cái nào biến mất. [26]. Không biến mất là bởi các thực nghiệm không thể bác bỏ hoặc khẳng định bất kì giải thích nào dù nó kì dị đến đâu đi chăng nữa.
Bản chất của tự nhiên thực sự rất khó nắm bắt. Mặc dù chúng ta có trong tay một lí thuyết có thể phán đoán rất chính xác các kết quả thực nghiệm nhưng ý nghĩa triết học đằng sau nó vẫn ẩn nấp không chịu lộ diện. Điều đó cho thấy các nhà vật lí đang thực sự gặp khủng hoảng. Các nhà triết học có thể giúp gì được không?

Chú thích

¹ CHSH là tên viết tắt của các tác giả Clauser, Horne, Shimony, Holt của công trình [4].

² ER là viết tắt của Einstein và Rosen, hai tác giả của bài báo đưa ra cầu ER giống như một lỗ giun kết nối hai vùng không gian khác nhau [14]. Sự kết nối này giống như một đường tắt cho phép các vật thể đi đến nhau nhanh hơn đường khác.

PGS. TS. Nguyễn Hoàng Hải
Viện Trần Nhân Tông, Đại học Quốc gia Hà Nội
Phó Giám đốc – Đại học Quốc gia Hà Nội

Biên tập: Nguyễn Phương Văn

Tài liệu

[1] Nobel Prize. The nobel prize in physics. https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/pressrelease/, 2022.
[2] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen. Can quantum–mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev., 47(10):777–780, 1935.
[3] David Bohm. Quantum Theory. Prentice-Hall, 1951.
[4] John F. Clauser, Michael A. Horne, Abner Shimony, and Richard A. Holt. Proposed experiment to test local hidden–variable theories. Phys. Rev. Lett., 23(15):880–884, 1969.
[5] Stuart J. Freedman and John F. Clauser. Experimental test of local hidden–variable theories. Phys. Rev. Lett., 28(14):938–941, 1972.
[6] Alain Aspect, Jean Dalibard, and Gérard Roger. Experimental test of Bell’s inequalities using time-varying analyzers. Phys. Rev. Lett., 49(25):1804–1807, 1982.
[7] Alain Aspect, Philippe Grangier, and Gérard Roger. Experimental realization of Einstein Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell’s inequalities. Phys. Rev. Lett., 49(2):91–94, 1982.
[8] Gregor Weihs, Thomas Jennewein, Christoph Simon, Harald Weinfurter, and Anton
Zeilinger. Violation of Bell’s inequality under strict Einstein locality conditions. Phys. Rev. Lett., 81(23):5039–5043, 1998.
[9] Ursin et.al. Entanglement–based quantum communication over 144 km. Nat. Phys., 3(7):481–486, 2007.
[10] Liao et.al. Satellite–relayed intercontinental quantum network. Phys. Rev. Lett.,
120(3):030501, 2018.
[11] Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Matthew Daniell, Harald Weinfurter, and Anton
Zeilinger. Observation of three–photon Greenberger–Horne–Zeilinger entanglement.
Phys. Rev. Lett., 82(7):1345–1349, 1999.
[12] Thomas Jennewein, Christoph Simon, Gregor Weihs, Harald Weinfurter, and Anton Zeilinger. Quantum cryptography with entangled photons. Phys. Rev. Lett., 84(20):4729– 4732, 2000.
[13] Anton Zeilinger. Quantum teleportation, onwards and upwards. Nat. Phys., 14(1):3–4, 2018.
[14] A. Einstein and N. Rosen. The particle problem in the general theory of relativity. Phys. Rev., 48(1):73–77, 1935.
[15] Cao Chi. Vũ trụ đột sinh–Bức tranh toàn cảnh về vật lý hiện đại. NXB Tri Thức, 2022.
[16] Alain Aspect. Closing the door on Einstein and Bohr’s quantum debate. Physics, 8:123, 2015.
[17] David Bohm. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of “hidden” variables. I. Phys. Rev., 85(2):166–179, 1952.
[18] R. P. Feynman and A. R. Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integrals. McGraw-Hill, 1965.
[19] Hugh Everett. Theory of the Universal Wavefunction. PhD thesis, Princeton University, 1956.
[20] G. C. Ghirardi, A. Rimini, and T. Weber. Unified dynamics for microscopic and macro scopic systems. Phys. Rev. D, 34(2):470–491, 1986.
[21] Roger Penrose. On the gravitization of quantum mechanics 1: Quantum state reduction. Found. Phys., 44(5):557–575, 2014.
[22] David Albert and Barry Loewer. Interpreting the many worlds interpretation. Synthese, 77(2):195–213, 1988.
[23] Carlton M. Caves, Christopher A. Fuchs, and R¨udiger Schack. Quantum probabilities as Bayesian probabilities. Phys. Rev. A, 65(2):022305, 2002.
[24] Michael J. W. Hall, Dirk-André Deckert, and Howard M. Wiseman. Quantum phenomena modeled by interactions between many classical worlds. Phys. Rev. X, 4(4):041013–, 2014.
[25] Nguyễn Hoàng Hải. Cơ học lượng tử: từ nguyên lí đến nguyên tử. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2022.
[26] N. David Mermin. Commentary: Quantum mechanics: Fixing the shifty split. Physics Today, 65(7):8–10, 2012.